已知5a+b=9,求a^2+2b^2的最小值

主要内容：
通过中值法、代入法、导数法等不同方法，详细介绍求代数式a^2+2b^2在5a+b=9条件下最小值的计算步骤。

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※：中值法
设5a=9/2+k ， b=9/2-k ，则：
f(a,b)
=a^2+2b^2
=(9/10+k/5)^2+2(9/2-k)^2
=51k^2/25-2*441k/50+4131/100
=51/25*(k-147/34)^2+54/17 。
将其看成为k的抛物线方程，开口向上，可知，当取对称轴k=147/34时， f(a ， b)有最小值，即：
f(a,b）min=54/17 。
※：代入法
∵5a+b=9,
∴b=9-5a,代入所求代数式得：
f(a,b)=a^2+2b^2
=a^2+2(9-5a)^2
=51a^2-2*90a+162
=51*(a-30/17)^2+54/17 。
可知，当a=30/17时， f(a ， b)有最小值，即：
f(a,b)min=54/17 。

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※：导数法
【已知5a+b=9,求a^2+2b^2的最小值】根据题意，构造如下函数：
设g(a,b)=a^2+2b^2+λ(5a+b-9),
分别对a,b求偏导数得：
g(a,b)a=2a+5λ ，
g(a,b)b=4b+λ ，
g(a,b)λ=5a+b-9
令g(a,b)a=g(a,b)b=g(a,b)λ=0 ，得b=a/10 。
又因为5a+b=9,所以a=30/17,b=3/17.
则f(a,b)min=(30/17)^2+2*(3/17)^2
=54/17 。

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